Question

（2012•邯鄲模擬）四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，其三視圖如圖所示，E、F分別是棱AB、CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2

2

，則該球表面積為（　　）

• A．9π
• B．3π
• C．2

  2

  π
• D．12π

Answer 1

分析：將三視圖還原為直觀圖，得四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，且與該正方體內接于同一個球．由此結合題意，可得正方體的棱長為2，算出外接球半徑R，再結合球的表面積公式，即可得到該球表面積．

解答：解：將三視圖還原為直觀圖如右圖，可得四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，
且與該正方體內接于同一個球．且該正方體的棱長為a
設外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設EF中點為G，連接OG，OA，AG
根據題意，直線EF被球面所截得的線段長為2

2

，即正方體面對角線長也是2

2

可得AG=

2

=

2

2

a，所以正方體棱長a=2
∴Rt△OGA中，OG=

1

2

a=1，AO=

3

即外接球半徑R=

3

，得外接球表面積為4πR²=12π
故選D．

點評：本題主要考查了將三視圖還原為直觀圖，并且求外接球的表面積，著重考查了正方體的性質、三視圖和球內接多面體等知識，屬于中檔題．