Question

（2012•邯鄲模擬）已知兩定點E（-2，0），F（2，0），動點P滿足

PE

•

PF

=0，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M滿足

PM

=

MQ

，點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點D（0，-2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，點N滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出點P的軌跡方程，再利用PM⊥x軸，點M滿足

PM

=

MQ

，確定P，M坐標之間的關系，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）求得四邊形OANB為平行四邊形，則S_OANB=2S_△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵動點P滿足

PE

•

PF

=0，∴點P的軌跡是以EF為直徑的圓
∵E（-2，0），F（2，0），
∴點P的軌跡方程x²+y²=4
設M（x，y）是曲線C上任一點，∵PM⊥x軸，點M滿足

PM

=

MQ

，
∴P（x，2y）
∵點P的軌跡方程x²+y²=4
∴x²+4y²=4
∴求曲線C的方程是

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）∵

ON

=

OA

+

OB

，∴四邊形OANB為平行四邊形
當直線l的斜率不存在時，不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設l：y=kx-2，l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0
∴x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由△=256k²-48（1+4k²）＞0，可得k＞

3

2

或k＜-

3

2

∵S△OAB=

1

2

|OD||x₁-x₂|=|x₁-x₂|
∴S_OANB=2S_△OAB=2|x₁-x₂|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=8

4k2-3 (1+4k2)2

令k²=t，則

(1+4t)2

4t-3

=4t-3+

16

4t-3

+8，當t＞

3

4

，即4t-3＞0時，由基本不等式，可得4t-3+

16

4t-3

+8≥16，當且僅當4t-3=

16

4t-3

，即t=

7

4

時，取等號，此時滿足△＞0
∴t=

7

4

時，

(1+4t)2

4t-3

取得最小值
∴k=±

7

2

時，四邊形OANB面積的最大值為2，
所求直線l的方程為y=

7

2

x-2和y=-

7

2

x-2．

點評：本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．