Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2，2)，其焦點F在x軸上．

(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設過點M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點，ME＝2DM，記D和E兩點間的距離為f(m)，求f(m)關于m的表達式．

Answer 1

（1）y²＝2x（2）x＋y－＝0（3）(m>0)

(1)由題意，可設拋物線C的標準方程為y²＝2px.因為點A(2，2)在拋物線C上，所以p＝1.因此拋物線C的標準方程為y²＝2x.
(2)由(1)可得焦點F的坐標是，又直線OA的斜率為＝1，故與直線OA垂直的直線的斜率為－1，因此所求直線的方程是x＋y－＝0.

(3)(解法1)設點D和E的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，直線DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.
將x＝＋m代入y²＝2x，有ky²－2y－2km＝0，解得y_1，2＝.
由ME＝2DM知1＋＝2(－1)，化簡得k²＝.
因此DE²＝(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²＝(y₁－y₂)²＝(m²＋4m)，所以f(m)＝ (m>0)．
(解法2)設D，E.
由點M(m，0)及＝2，得t²－m＝2，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s².所以f(m)＝DE＝ (m>0)．