Question

如圖,拋物線E:y²=4x的焦點為F,準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設圓C與準線l交于不同的兩點M,N.

(1)若點C的縱坐標為2,求|MN|;
(2)若|AF|²=|AM|·|AN|,求圓C的半徑.

Answer 1

（1）2  （2）

解:(1)拋物線y²=4x的準線l的方程為x=-1.
由點C的縱坐標為2,點C在拋物線E上,
得點C的坐標為(1,2),
所以點C到準線l的距離d=2,
又|CN|=|CO|=,
所以|MN|=2=2=2.
(2)設C（,y₀）,
則圓C的方程為（x-）²+(y-y₀)²=+,
即x²-x+y²-2y₀y=0.
由x=-1,
得y²-2y₀y+1+=0,
設M(-1,y₁),N(-1,y₂),則

由|AF|²=|AM|·|AN|,
得|y₁y₂|=4,
所以+1=4,
解得y₀=±,此時Δ>0.
所以圓心C的坐標為（,）或（,-）,
從而|CO|²=,
|CO|=,
即圓C的半徑為.