Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當時，恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對求導，利用，得關于的方程解方程，即可求出的值；

（Ⅱ）當時，恒成立，等價于恒成立，構造函數，利用導數判斷其單調性，并對進行分類討論，即可求出的最大值．

（Ⅰ）因為f

所以

，

又因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

當時，恒成立，

等價于恒成立，

等價于恒成立．

設，

則，

因為，所以．

①當，即時，，

所以函數在上單調遞增，

所以恒成立，

所以符合題意；

②當，即或時，

設，

則，

所以函數在上單調遞增，

因為，

當時，，

所以，

所以在上存在，使得.

當時，，即；

當時，，即，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．

所以，

所以或不合題意，舍去．

綜上所述，實數的最大值為．