Question

【題目】近年來，隨著我市經濟的快速發展，政府對民生越來越關注市區現有一塊近似正三角形的土地（如圖所示），其邊長為2百米，為了滿足市民的休閑需求，市政府擬在三個頂點處分別修建扇形廣場，即扇形和，其中與、分別相切于點，且與無重疊，剩余部分（陰影部分）種植草坪.設長為（單位：百米），草坪面積為（單位：萬平方米）.

（1）試用分別表示扇形和的面積，并寫出的取值范圍；

（2）當為何值時，草坪面積最大？并求出最大面積.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）時，草坪面積最大，最大面積為萬平方米.

【解析】

（1）因為，所以可得三個扇形的半徑，圓心角都為，由扇形的面積公式可得答案；

（2）用三角形面積減去三個扇形面積可得草坪面積，再利用二次函數可求出最值.

（1），則，，

在扇形中，的長為，

所以，

同理，.

∵與無重疊，∴，即，則.

又三個扇形都在三角形內部，則，∴.

（2）∵，

∴

，

∴當時，取得最大值，為.

故當長為百米時，草坪面積最大，最大面積為萬平方米.