Question

已知頂點在原點O，焦點在x軸上的拋物線過點(3，

6

)．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線y=x-2交于A、B兩點，求證：k_OA•k_OB=-4．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線標準方程，代入點的坐標，可求拋物線的方程；
（2）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，結合斜率公式，可得結論．

解答：（1）解：設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），則
∵拋物線過點(3，

6

)，∴6=2p×3，∴p=1，
∴拋物線的標準方程為y²=2x；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線y=x-2代入y²=2x，整理可得x²-6x+4=0
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

(x1-2)(x2-2)

x1x2

=

x1x2-4(x1+x2)+4

4

=-4．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．