Question

已知頂點為原點O，焦點在x軸上的拋物線，其內接△ABC的重心是焦點F，若直線BC的方程為4x+y-20=0．
（1）求拋物線方程；
（2）軸上是否存在定點M，使過M的動直線與拋物線交于P，Q兩點，滿足∠POQ=90°？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設拋物線方程為y²=4px，然后表示出焦點坐標，拋物線和直線方程聯立可消去y得到4x²-（p+40）x+100=0，進而可得到B，C的橫坐標之和與縱坐標之和，再由A點在拋物線上得到坐標滿足拋物線方程，最后將A，B，C的坐標代入△ABC重心坐標公式可求得p得值，從而確定拋物線方程．
（2）先設點M、P、Q的坐標，①當直線斜率不存在時構造向量、，然后根據∠POQ=90°得到兩向量的數量積等于0可得到M的坐標；②當斜率存在時，構造直線方程然后與拋物線聯立消去x，可以得到兩根之和、兩根之積，同樣構造向量、，然后根據∠POQ=90°得到兩向量的數量積等于0可得到M的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的方程為y²=4px，則其焦點為（p，0）
與直線方程4x+y-20=0聯立，有：（-4x+20）²=4px
∴4x²-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20
該方程的解為B，C兩點的坐標（x₂，y₂），（x₃，y₃）
x₂+x₃=（1）
y₂+y₃=-4（x₂+x₃）+40=-p （2）
設A（x₁，y₁）
∵A在拋物線上
∴y₁²=4px₁（3）
△ABC重心坐標為：（，）
∵重心為拋物線焦點
∴=p，=0
將（1），（2）代入，得：
x1+=3p，y₁-p=0
與（3）聯立，三個方程，x₁，y₁，p三個未知數，可解
解得：p=4
故拋物線的方程為y²=16x．
（2）設點M（a，b）  P（x₄，y₄）  Q（x₅，y₅）
①當直線L的斜率不存在時   即  x₄=x₅=a   且 a＞0
則：令  y₄=4，y₅=-4
∵∠POQ=90°∵=（a，-4）=（a，4）
∴=a²-16a=0
解得：a=16   或  a=0（舍去）
②當直線L的斜率存在時  設斜率為k    則   直線L的方程為：
y-b=k（x-a）   （k≠0）
∴聯立方程：
消去x 得：ky²-16y+16b-16ka=0
∴y₄+y₅=，y₄×y₅=
∴x₄×x₅=
∵∠POQ=90°
∴=x₄×x₅+y₄×y₅=+=0
即：k²（a²-16a）+k（16b-2ab）+b²=0對任意的k≠0都恒成立
∴有方程組：且a≠0
∴解得：a=16，b=0
∴點M（16，0）
綜上所述：存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經過坐標原點，
點M的坐標為：（16，0）
點評：本題主要考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的聯立問題．直線與圓錐曲線的聯立是高考考查圓錐曲線的一種典型題型，一般作為壓軸題出現．