Question

【題目】如圖，三個校區分別位于扇形OAB的三個頂點上，點Q是弧AB的中點，現欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P（不與點O，Q重合），為小區鋪設三條地下電纜管線PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，記∠APQ＝θrad，地下電纜管線的總長度為y千米．

（1）將y表示成θ的函數，并寫出θ的范圍；

（2）請確定工作坑P的位置，使地下電纜管線的總長度最小．

Answer 1

【答案】（1）（2）P與O的距離為時，地下電纜管線的總長度最小

【解析】

（1）首先根據Q為弧AB的中點，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根據OA＝2，得到PA＝，OP＝，從而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根據題意確定出；

（2）對函數求導，令導數等于零，求得，確定出函數的單調區間，從而求得函數的最值.

（1）因為Q為弧AB的中點，由對稱性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，

又∠APO＝，∠OAP＝，

由正弦定理，得：，又OA＝2，

所以，PA＝，OP＝，

所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，

∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，

所以，；

（2）令，

，得：，

在上遞減，在上遞增

所以，當，即OP＝時，有唯一的極小值，

即是最小值：＝2，

答：當工作坑P與O的距離為時，地下電纜管線的總長度最小．