【題目】下列有關命題的說法正確的是（ ）
A. 
，使得
成立．
B. 命題
：任意
，都有
，則
：存在
，使得
．
C. 命題“若
且
，則
且
”的逆命題為真命題．
D. 若數列
是等比數列，
則
是
的必要不充分條件．
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統，該系統為三級過濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯安裝。
其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現。在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統的同時購買濾芯，則一級濾芯每個
元，二級濾芯每個
元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個
元，二級濾芯每個
元。現需決策安裝凈水系統的同時購濾芯的數量，為此參考了根據
套該款凈水系統在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中圖是根據個一級過濾器更換的濾芯個數制成的柱狀圖，表是根據個二級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表.
二級濾芯更換頻數分布表
二級濾芯更換的個數 |
|
|
頻數 |
|
|
以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替
個一級過濾器更換濾芯發生的概率，以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發生的概率.
（1）求一套凈水系統在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為
的概率；
（2）記
表示該客戶的凈水系統在使用期內需要更換的一級濾芯總數，求的分布列及數學期望；
（3）記
，
分別表示該客戶在安裝凈水系統的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若
，且
，以該客戶的凈水系統在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定，的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年春節檔有多部優秀電影上映，其中《流浪地球》是比較火的一部.某影評網站統計了100名觀眾對《流浪地球》的評分情況，得到如下表格：
評價等級 | ★ | ★★ | ★★★ | ★★★★ | ★★★★★ |
分數 | 0～20 | 2140 | 4160 | 61～80 | 81100 |
人數 | 5 | 2 | 12 | 6 | 75 |
(1)根據以上評分情況，試估計觀眾對《流浪地球》的評價在四星以上(包括四星)的頻率；
(2)以表中各評價等級對應的頻率作為各評價等級對應的概率，假設每個觀眾的評分結果相互獨立.
(i)若從全國所有觀眾中隨機選取3名，求恰有2名評價為五星1名評價為一星的概率；
(ii)若從全國所有觀眾中隨機選取16名，記評價為五星的人數為X，求X的方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，直線
不過原點
且不平行于坐標軸，與
有兩個交點
，
，線段
的中點為
.證明：
（
）直線
的斜率與的斜率的乘積為定值
.
（
）若過點
，延長線段與交于點
，當四邊形
為平行四邊形時，則直線的斜率
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題中真命題是
A. 同垂直于一直線的兩條直線互相平行
B. 底面各邊相等，側面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條
D. 過球面上任意兩點的大圓有且只有一個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某港口船舶停靠的方案是先到先停.
（1）若甲乙兩艘船同時到達港口，雙方約定各派一名代表猜拳：從
中各隨機選一個數，若兩數之和為奇數，則甲先停靠；若兩數之和為偶數，則乙先停靠，這種對著是否公平？請說明理由.
（2）根據已往經驗，甲船將于早上
到達，乙船將于早上
到達，請應用隨機模擬的方法求甲船先停靠的概率，隨機數模擬實驗數據參考如下：記
都是
之間的均勻隨機數，用計算機做了
次試驗，得到的結果有
次滿足
，有
次滿足
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）求與橢圓
有共同焦點且過點
的雙曲線的標準方程；
（2）已知拋物線的焦點在
軸上，拋物線上的點
到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和
的值．
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