Question

平面直角坐標系中，已知點P₀（1，0），P₁（2，1）且

PnPn+1

=

1

3

Pn-1Pn

（n∈N^*）．當n→+∞時，點P_n無限趨近于點M，則點M的坐標為

 

．

Answer 1

分析：由題設條件知

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

=(-

1

2

)n（1，1）．再由

lim

n→∞

(-

1

2

)n（1，1）=（1，1）能得到M點的坐標．

解答：解：∵

PnPn+1

 =

1

3

Pn-1Pn

，
=(

1

3

)n

P0P1

=(

1

3

)n(

OP1

-

OP0

)=(

1

3

)n（1，1）．
∴P₂（2+

1

3

，1+

1

3

），P₃（2+

1

3

+(

1

3

)2，1+

1

3

+(

1

3

)2），…，P_n（2+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1，1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1）
∴P_n（2+

1 3 [1- ( 1 3 )n-1]

1- 1 3

，

1-( 1 3 )n

1- 1 3

），
∵點P_n無限趨近于點M，∴點M的坐標為（

5

2

，

3

2

）
故答案為（

5

2

，

3

2

）．

點評：本題考查數列的極限和應用，解題時要注意向量的坐標運算．同時考查了運算能力和分析歸納推理能力，屬中檔題題．