Question

記等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）：利用待定系數法，設首項和公差，由a₂+a₄=6，S₄=10，列方程組，可得數列首項和公差，從而得解．
（2）：由a_n=n，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ可知，要求{b_n}的前n項和，可利用錯位相減的方法求得．（一個等差數列和一個等比數列對應項之積組成的數列，可用錯位相減法求和）

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₂+a₄=6，S₄=10，
可得

2a1+4d=6 4a1+ 4×3 2 d=10

，（2分），
即

a1+2d=3 2a1+3d=5

，
解得

a1=1 d=1

，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差數列{a_n}的通項公式為a_n=n．（5分）
（Ⅱ）依題意，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，（7分）
又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，（9分）
兩式相減得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹（11分）=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（12分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（13分）

點評：本題是數列求通項和前n項和的題型，高考常見，其中：
（1）可利用利用待定系數法求解，這是解數列題的一般方法，要熟練掌握．
（2）對于一個等差數列和一個等比數列對應項之積組成的數列，可用錯位相減法求和，這也是教材推導等比數列前n項和公式時的方法．另外數列求和的方法還有倒序相加，裂項相消，分組求和等方法，要熟練掌握．都是高考中常考的知識點．