Question

【題目】【2017寧夏石嘴山市二模】如圖,在以為頂點的多面體中,平面,平面,,.

（1）請在圖中作出平面,使得,且,并說明理由；

（2）求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）如圖,取中點,連接,則平面即為所求的平面,

顯然,以下只需證明平面；

∵,

∴且,

∴四邊形為平行四邊形,

∴.

又平面,平面,

∴平面.

∵平面,平面,

∴.

又平面,平面,

∴平面,

又平面,平面,,

∴平面平面.

又平面,

∴平面,即平面.

（2）過點作并交于,

∵平面,

∴,即兩兩垂直,

以為原點,以所在直線分別為軸,建立如圖所示空間直角坐標系.

在等腰梯形中,∵,

∴,

則.

∵,∴,

∴.

設平面的法向量,

由,得,

取,可得平面的一個法向量.

設直線和平面所成角為,

又∵,

∴,

故直線和平面所成角的正弦值為.