Question

【題目】已知函數(shù)的定義域是且，，當(dāng)時，.

（1）求證：是奇函數(shù)；

（2）求在區(qū)間上的解析式；

（3）是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，不等式有解？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）， （3）不存在正整數(shù)滿足題意，證明見解析

【解析】

（1）由已知，得，進(jìn)而結(jié)合，可得，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可得證；

（2）由，時，，結(jié)合已知．結(jié)合（1）中結(jié)論可得所求解析式；

（3）由（2）的結(jié)論及指數(shù)的運算性質(zhì)，可將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式的形式，進(jìn)而分析出對應(yīng)函數(shù)在區(qū)間，上的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解：（1）證明：由，得，

由得，

故是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)，時，，

，

而，

；

（3）當(dāng)，，時，，，

，

因此，

不等式即為，

即．

令，對稱軸為，

因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

因為，又為正整數(shù)，

所以，因此在，上恒成立，

因此不存在正整數(shù)使不等式有解．