Question

【題目】已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.

（1）若、且，證明：函數(shù)必有局部對稱點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上有局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為方程，根據(jù)證明方程有解得結(jié)果；

（2）根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為方程，利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)值域，即得結(jié)果；

（3）根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為方程，利用換元轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有解問題，再根據(jù)實根分布求結(jié)果.

（1）由題意得

根據(jù)定義可得函數(shù)必有局部對稱點；

（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對稱點，

所以，即在區(qū)間內(nèi)有解，

設(shè)，則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以

（3）因為函數(shù)在上有局部對稱點，

所以在上有解，

設(shè)，則，即在上有解，所以或，

或，即得