Question

（某品牌的汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元，分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元，用η表示經銷一輛汽車的利潤．

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數	40	20	a	10	b

（Ⅰ）求上表中的a，b值；
（Ⅱ）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用3期付款”的頻率P（A）；
（Ⅲ）求η的分布列及數學期望Eη．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據分3期付款的頻率為0.2，以及頻數=樣本容量×頻率，可求出a的值，再根據總數為100可求出b的值；
（II）購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位采用3期付款有兩種情形，一種情況是沒有人采用3期付款，一種情況是只有1人采用3期付款，分別求出相應的概率，求和即可；
（III）根據η的可能取值為1，1.5，2，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）由，可得a=20，∴b=100-40-20-20-10=10
（Ⅱ）記分期付款的期數為ξ，依題意得
P（ξ=1）=0.4，P（ξ=2）=0.2，P（ξ=3）=0.2，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.1
∴“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用3期付款”的概率為P（A）==0.896；
（Ⅲ）η的可能取值為為1，1.5，2（單位：萬元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4，P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.2
∴η的分布列為

η	1	1.5	2
P	0.4	0.4	0.2

∴Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.2（萬元）
點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．