Question

某品牌的汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如右表所示：已知分3期付款的頻率為0.2，4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元．用η表示經銷一輛汽車的利潤．

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
頻數	40	20	a	10	b

（1）求表中的a，b值；
（2）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及數學期望Eη．

Answer 1

分析：（1）根據分3期付款的頻率為0.2，得到a除以100值為0.2，求出a的值，根據總體數是100，求出b的值．
（2）記分期付款的期數為ξ，則ξ的可能取值是1，2，3，4，5，結合變量對應的事件寫出變量的概率，根據獨立重復試驗的概率公式得到購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用3期付款的概率．
（3）η表示經銷一輛汽車的利潤，η的可能取值為：1，1.5，2，結合變量對應的事件，根據η和ξ之間的關系，寫出變量的概率，得到分布列．

解答：解：（1）由

a

100

=0.2得a=20
∵40+20+a+10+b=100∴b=10
（2）記分期付款的期數為ξ，則ξ的可能取值是1，2，3，4，5，
依題意得：P(ξ=1)=

40

100

=0.4，
P(ξ=2)=

20

100

=0.2，
P（ξ=3）=0.2，
P(ξ=4)=

10

100

=0.1，
P(ξ=5)=

10

100

=0.1
則“購買該品牌汽車的3位顧客中至多有1位采用3期付款”的概率
P（A）=0.8³+C₃¹0.2×（1-0.2）²=0.896
（3）∵η的可能取值為：1，1.5，2（單位萬元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4
P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2
∴η的分布列為：
∴η的數學期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（萬元）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查獨立重復試驗，考查兩個變量之間的概率關系，是一個綜合題目，這種題目近幾年考得比較多．