Question

某品牌的汽車4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如表：已知分3期付款的頻率為0.4．

付款方式	分1期	分3期	分3期	分4期	分5期
頻數	10	20	a	20	b

（1）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌汽車的3位客戶中，至少有1位采用分3期付款”的概率P（A）；
（2）4S店經銷一輛該品牌的汽車，若客戶分1期付款，其利潤是1萬元；若分2期或3期付款，其利潤是1.5萬元；若分4期或5期付款，其利潤是2萬元．用表示經銷一輛該品牌汽車的利潤，求η的分布列及數學期望Eη．

Answer 1

分析：（1）根據分3期付款的頻率為0.4，以及頻數=樣本容量×頻率，可求出a的值，再根據總數為100可求出b的值，購買該品牌汽車的3為顧客中至少有1位采用3期付款有兩種情形，一種情況是只有2人采用3期付款，一種情況是只有1人采用3期付款，分別求出相應的概率，求和即可；
（2）根據η的可能取值為1，1.5，2，然后分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（1）由

a

100

=0.4，得a=40，
∵10+20+a+20+b=100，∴b=10
記分期付款的期數為ξ，依題意得
P（ξ=1）=

10

100

=0.1，P（ξ=2）=

20

100

=0.2，P（ξ=3）=

40

100

=0.4
P（ξ=4）=

20

100

=0.2，P（ξ=5）=

10

100

=0.1
則“購買該品牌汽車的3為顧客中至少有1位采用3期付款”的概率
P（A）=

C

2 3

×0.4²×0.6+

C

1 3

×0.4×0.6²=0.72．
（2）因為η的可能取值為1，1.5，2
P（η=1）=P（ξ=1）=0.1，P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.6
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.3
列表如下：

η	1	1.5	2
P	0.1	0.6	0.3

所以η的數學期望E（η）=1×0.1+1.5×0.6+2×0.3=1.6（萬元）

點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．