Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓離心率是，焦點到相應準線的距離是3．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設A是橢圓的左頂點，動圓過定點E（1，0）和F（7，0），且與直線x＝4交于點P，Q．

①求證：AP，AQ斜率的積是定值；

②設AP，AQ分別與橢圓交于點M，N，求證：直線MN過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②見解析.

【解析】

(1)由橢圓的離心率得到，結合焦點到相應準線的距離可求出的值，進而求出的值，即可得出橢圓的方程；(2) ①設動圓圓心坐標為 ,進而寫出動圓的方程，將直線的方程代入圓的方程，得出點兩點的縱坐標之積，再利用斜率公式可得出的斜率之積為定值；②設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，可得，由兩點的縱坐標之積為 ,結合韋達定理計算出，從而得出直線過定點.

（1）設橢圓的焦距為，由題意可得，所以，，

因為橢圓的焦點到相應準線的距離為，得c=1，所以，，

因此，橢圓的方程為；

（2）①設動圓的圓心坐標為，則圓的方程為，

設點，令，可得，

則AP、AQ的斜率之積為（定值）；

②設直線MN的方程為，設點

將直線MN的方程代入橢圓方程并化簡得，

由韋達定理可得

因為A、M、P三點共線，則，

由于，，

所以，則，同理可得

由

，解得t=1，

因此，直線MN過定點（1，0）.