Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點．

(1)證明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：(1) 連接，取的中點，連接，
要證平面，只要證，即可，由題設可得是等腰的底邊上的中線，所以；另一方面由又可得出 
考慮到平面  平面，；問題得證.
(2)根據空間圖形中已知的垂直關系，可以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，寫出點 ,分別求出平面 的一個法向量 和平面 的一個法向量，利用向的夾公式求二面角A—DM—C的余弦值
試題解析：
證明：連接，取的中點，連接，

由此知，即為直角三角形，故
又平面，故
所以，平面，                        2分
又，為的中點
                                    4分
                                  5分
平面                                  6分

以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，        7分
則從而
設是平面的一個法向量，則
可取                                8分
同理，設是平面的一具法向量,則
可取                                  9分
                                    2分
顯然二面角的大小為鈍角，所以二面角的余弦值為.        12分
4、二面角的概念與法向量的求法.