Question

【題目】若實數滿足，稱為函數的不動點.有下面三個命題：（1）若是二次函數，且沒有不動點，則函數也沒有不動點；（2）若是二次函數，則函數可能有個不動點；（3）若的不動點的個數是，則的不動點的個數不可能是；它們中所有真命題的序號是________________________.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）題意說明方程無實數根，即函數的圖象與直線無交點，由此可得恒成立，或恒成立，由此可得結論．

（2）由是二次函數，則是四次函數，結合四次函數圖象可判斷．

（3）若有兩個不動點，設為，則，（），用反證法證明不可能有3個不動點．

（1）設，由題意無實根，即函數的圖象與直線無交點，

時，的圖象在軸上方，

則對任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立，

當時，的圖象在軸下方，

則對任意，恒成立，恒成立，

∴恒成立．

綜上不論還是，方程無實根，即無不動點，（1）正確；

（2）是二次函數，則是一元四次函數，是一元四次方程，可能是4個不同的實解，即有4個不動點．

如，有兩個不動點和3，

而，

有4個不等實根．（2）正確；

（3）若有兩個不動點，設為，則，（），

，

顯然是方程的解，

若有3個不動點，則方程有兩個相等的實根，且不是它的根．即，，即（*）

，，

，或，與（*）式矛盾，

∴不可能有3個不動點．（3）正確．

故答案為：（1）（2）（3）．