Question

【題目】選修4一1：幾何證明選講 如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點，過C的直線交直線AB于E，交過A點的切線于D，BC∥OD．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．

Answer 1

【答案】證：（Ⅰ）連接AC，AB是直徑，則BC⊥AC 由BC∥ODOD⊥AC

則OD是AC的中垂線∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，
∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．
OC⊥DE，所以DE是圓O的切線．
（Ⅱ） BC∥OD∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO△ABC∽△AOD
BC= = =
BE=
【解析】（Ⅰ）要證DE是圓O的切線，連接AC，只需證出∠DAO=90°，由BC∥ODOD⊥AC，則OD是AC的中垂線．通過△AOC，△BOC均為等腰三角形，即可證得∠DAO=90°．（Ⅱ）由 BC∥OD∠CBA=∠DOA，結合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例線段求出EB．