Question

【題目】 （本小題滿分12分）

如圖， 在四面體ABOC中, , 且.

（Ⅰ）設為為的中點， 證明： 在上存在一點，使，并計算；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】解法一：

（Ⅰ）在平面內作交于，連接。

又，　

，。

取為的中點，則。

在等腰　中，，

在中， ，

在中， ， .

（Ⅱ）連接 ，由，知：.

又，

又由，.

是在平面內的射影.

在等腰中，為的中點，

根據三垂線定理，知： ,

為二面角的平面角.

在等腰中，，

在中， ，中，.

解法二：（Ⅰ） 取為坐標原點，分別以，所在的直線為軸，軸，建立空間直角坐標系（如圖）,則 , 為中點，

.

設 .

即，。

所以存在點 使得 且.

（Ⅱ）記平面的法向量為,則由，，

且，得， 故可取

又平面的法向量為 ..

二面角的平面角是銳角，記為，則.

【解析】略