Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，試討論函數的單調性；

（Ⅱ）設，當對任意的恒成立時，求函數的最大值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得.結合，可得在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）由對任意的恒成立 可得.又由（Ⅰ）知，當時， ，可得

對 求導，研究其最值，并求其范圍即可

試題解析：

（Ⅰ）.

因為，則時時，

∴在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）當時，若，則.

所以對任意的恒成立 ， .

由（Ⅰ）知，當時， 在上遞減，在上遞增.

依題意，有，∴

.

∴.

設，則，

∵，∴，∴在上遞增，

∵， .

因此，存在唯一，使得，

當時， ， ， 單調遞增；

當時， ， ， 單調遞減.

因此在處取得最大值，最大值為

，

設，則，

∴在上遞減，∴，∴

∴時的最大值.

反之，任取，下證，

∵在上遞減，在上遞增，且時，

∴任取，存在唯一的，使得.

∵，∴在上遞減，

∴時， .

綜上，當對任意的恒成立時，函數最大值，最大值的取值范圍為.

注：后半部分的證明是為了說明當在內變化時， 能取遍內的所有值，從而的最大值能取遍內所有的值，防止把的最大值的取值范圍變大.