Question

【題目】已知函數 ．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（2）是否存在實數a使得f（x）的定義域、值域都是 ，若存在求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x2＞x1＞0，

則f（x2）﹣f（x1）=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）= ﹣ = ，

∵x2＞x1＞0，∴x2﹣x1＞0，

∴ ＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）遞增

（2）解：∵f（x）在（0，+∞）遞增，

且定義域和值域均是[ ，2]，

∴ ，

所以存在實數

【解析】（1）根據函數的單調性的定義證明即可；（2）根據函數的單調性得到關于a的方程組，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．