Question

【題目】（12分）已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m，n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，

且當x＞0時，有f(x)＞1.

(1)求f(0)．

(2)求證：f(x)在R上為增函數(shù)．

(3)若f(1)＝2，且關于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3對任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝1 (2)見解析 (3) (－∞，2－1)

【解析】

（1）利用賦值法，令，可得．（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義并結合所給的函數(shù)的性質(zhì)可證明結論成立．（3）根據(jù)題意可將不等式化為，再由函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)可得x2-(a+1)x+3>0對任意的x∈[1,+∞)恒成立，然后根據(jù)二次函數(shù)在所給區(qū)間上的最值的求法求出函數(shù)的最小值后可得所求．

(1)解令m=n=0,則f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.

(2)證明：設x1,x2∈R,且x1<x2,

則．

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

∴，

∴f(x2)>f(x1)．

故f(x)在R上為增函數(shù)．

(3)解∵，

即，

∴，

∵f(1)=2,

∴.

又f(x)在R上為增函數(shù),

∴．

∴對任意的x∈[1,+∞)恒成立.

令，

①當≤1,即a≤1時,函數(shù)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

由,得a<3,

∴a≤1；

②當>1,即a>1時,由,得，

∴

綜上可得實數(shù)a的取值范圍為．