Question

已知函數，其中
（Ⅰ）若是函數的極值點，求實數的值；
（Ⅱ）若對任意的（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值范圍

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

解析試題分析：（Ⅰ）若是函數的極值點，求實數的值，先函數的定義域，與極值有關，可通過求導解決．對求導，由題意可知，可求出的值；（Ⅱ）若對任意的都有成立，即在上的最小值大于或等于在上的最大值，從而轉化為分別求函數，在的最小值、最大值，由它們的最值，從而確定出實數的取值范圍．
試題解析：（I）解法1：∵h(x)=2x++lnx，其定義域為(0,+∞)， (1分)
∴h＇^{`</sup>(x)=2--         (3分)
∵x=1是函數h(x)的極值點，∴h＇(1)=0，即3-a<sup>2</sup>=0．∵a>0，∴a=．
經檢驗當a=時，x=1是函數h(x)的極值點，∴a=．       (5分)
解法2：∵h(x)=2x++lnx，其定義域為(0,+∞)，
∴h＇<sup>`}(x)=2--．  令h^{`</sup>(x)=0，即2--=0，整理，得2x<sup>2</sup>+x-a=0．
∵D=1+8a<sup>2</sup>>0，
∴h<sup>`}(x)=0的兩個實根x₁=（舍去），x₂=，
當變化時，h(x),h^`(x)的變化情況如下表：

x	(0,x2)		(x2,+∞)
h`(x)	-	0	+
h(x)	↘	極小值	↗

依題意，=1，即a²=3，∵a>0，∴a=．
（Ⅱ）對任意的x₁,x₂∈[1,e]都有f(x₁)≥g(x₂)成立等價于對任意的x₁,x₂∈[1,e]都有[f(x)]_min≥[g(x)]_max
(6分)
當x∈[1,e]時，g^{`</sup>(x)=1+>0．
∴函數g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函數．∴[g(x)]<sub>max</sub>=g(e)=e+1．    (8分)
∵f＇<sup>`}(x)=1-=