Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）記函數的最小值為，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間為；的單調遞減區間為；
（Ⅱ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）先求導，再令導數等于0，討論導數的正負得函數的增減區間。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.令還是先求導再令導數等于0，討論導數的正負得函數的單調區間，從而可求得此函數的最值。
試題解析：解：
的定義域為.
.            2分
令，解得或（舍）.
當在內變化時，的變化情況如下：

由上表知，的單調遞增區間為；的單調遞減區間為.
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.         6分
令，則.
令，解得.                                  8分
當在內變化時，的變化情況如下：

所以函數的最大值為，即.
因為，所以.                    11分
考點：1導數；2利用導數判斷函數的單調性；3利用單調性求最值。