Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)3.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出；

（2）由（1）可知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且.轉(zhuǎn)化為求滿足的最小正整數(shù)的值，利用單調(diào)性判斷其零點(diǎn)所在的最小區(qū)間即可求得.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

,

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）可知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，且.

即，

即，

.

令，易知在上是增函數(shù)，且，

又，

即.

所以存在，使，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以滿足的最小正整數(shù)的值為3.

又時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.