Question

（2012•眉山一模）眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉，也是人們旅游的好地方．在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化“知識競賽．已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為

2

3

，乙隊中3人答對的概率分別為

2

3

，

2

3

，

1

2

，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．
（I）分別求“甲隊得2分乙隊得1分”和“甲隊得3分乙隊得0分”的概率；
（II）用ξ表示甲隊的總得分，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記甲隊得2分乙隊得1分為事件A，記甲隊得3分乙隊得0分為事件B；分別由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算甲隊得2分的概率P₁、乙隊的1分的概率P₂、甲隊得3分的概率P₃、乙隊的0分的概率P₄，進而由相互獨立事件概率的乘法公式計算可得答案；
（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，由n次獨立重復實驗中恰有k次發生的概率公式計算P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=3）、P（ξ=4），進而可得ξ的分步列，進而由期望公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記甲隊得2分乙隊得1分為事件A，記甲隊得3分乙隊得0分為事件B；
甲隊得2分的概率P₁=C₃²×（

2

3

）²×（1-

2

3

）=

4

9

，
乙隊的1分的概率P₂=

2

3

×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×

1

2

=

5

18

，
則P（A）=

4

9

×

5

18

=

10

81

；
甲隊得3分的概率P₃=C₃³×（

2

3

）³=

8

27

，
乙隊的0分的概率P₄=（1-

2

3

）×（1-

2

3

）×（1-

1

2

）=

1

18

，
則P（B）=

8

27

×

1

18

=

4

243

；
（Ⅱ）由題意，ξ可取的值為0、1、2、3，
ξ=0，即甲隊得0分，3人都回答錯誤，P(ξ=0)=

C

0 3

×(1-

2

3

)3=

1

27

，
ξ=1，即甲隊得1分，3人中只有1人回答正確，P(ξ=1)=

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

2

9

，
ξ=2，即甲隊得2分，3人中只有2人回答正確，P(ξ=2)=

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)=

4

9

，
ξ=3，即甲隊得3分，3人都回答正確，P(ξ=3)=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

．
所以ξ的分布列為

ξ的數學期望為Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點評：本題考查相互獨立重復事件的概率計算，離散變量的分步列、期望的計算，解題時要明確事件之間的關系并準確計算．