Question

【題目】如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點，BC＝3，平面PAC垂直圓O所在平面，直線PC與圓O所在平面所成角為60°，PA⊥PC．

（1）證明：AP⊥平面PBC

（2）求二面角P—AB一C的余弦值

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2) .

【解析】

（1）由已知條件得BC⊥平面PAC，可得又，由此能證明平面．

（2）法一：過作于，由平面平面，知∠HCP為直線與圓所在平面所成角，可得，由此能得到為二面角的平面角.利用平面幾何知識求解即可．

法二：利用空間向量法求解線面角.

（1）由已知可知，又平面平面圓，平面平面圓，

∴平面，∴，

又，，平面，平面，

∴平面.

（2）法一：過作于，由于平面平面，則平面，

則為直線與圓所在平面所成角，所以.

過作于，連結，則，

故為二面角的平面角.

由已知，，

在中，，

由得，在中，，

故，故，

即二面角的余弦值為.

法二：過作于，則平面，過作交于，

以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則，，，，

從而，，

設平面的法向量，

則得，

令，從而，

而平面的法向量為，

故，

即二面角的余弦值為.