Question

（1）對于數列{a_n}，若存在常數T≥0，使得對于任意n∈N^*，均有|a_n|≤T，則稱{a_n}為有界數列．以下數列{a_n}為有界數列的是

 

；（寫出滿足條件的所有序號）
①a_n=n-2②an=

1

n+2

③

an

an+1

=2，a1=1
（2）數列{a_n}為有界數列，且滿足a_n+1=-a_n²+2a_n，a₁=t（t＞0），則實數t的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，n＞2時數列單調遞增，不存在實數T滿足|a_n|≤T
②an=

1

n+2

＞0且數列單調遞減，則|an|≤a1=

1

3

，故存在T=

1

3

③

an

an+1

=2，a1=1可得an=(

1

2

)n-1＞0單調遞減的數列，a_n≤a₁=1，存在T=1
（2）易知，a_n+1=-（a_n-1）²+1由此得通項an=1-(t-1)2n-1，由有界數列定義知，|t-1|≤1．結合t＞0，可求t的范圍

解答：解：（1）①a_n=n-2，|a_n|=|n-2|≥0，不存在實數T滿足|a_n|≤T，①錯誤
②an=

1

n+2

＞0且數列單調遞減，則|an|≤a1=

1

3

，則T=

1

3

時，|an|≤

1

3

，②正確
③

an

an+1

=2，a1=1可得an=(

1

2

)n-1＞0單調遞減的數列，a_n≤a₁=1，T=1時，|a_n|≤1，③正確
（2）∵a_n+1=-（a_n-1）²+1≤1
∴1-a_n+1=（1-a_n）²∴lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即

lg(1-an+1)

lg(1-an)

=2
由等比數列的通項公式可得，an=1-(t-1)2n-1
由有界數列定義知，|t-1|≤1．又t＞0，故t的取值范圍是0＜t≤2．
故答案為：②③；0＜t≤2

點評：本題主要考查了數列有界性的應用，實質是利用數列的單調性的定義求解數列的范圍，解t的范圍的關鍵是要求出數列的通項公式