Question

已知函數f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，對于數列{a_n}，設它的前n項和為S_n，且滿足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并證明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求證：點在同一直線l₁上；
（3）若過點N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直線l₂，設l₂與l₁的夾角為θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“當n=1時，a₁=s₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”，求出通項公式a_n，再由p＞0，p+q＞1進行證明；
（2）根據一條直線的斜率是一個定值，即在所給的點中任選兩點求出是定值進行證明；
（3）由斜率公式求出直線l₂的斜率，再由（2）和夾角公式表示夾角的正切，化簡后利用基本不等式求出最大值，注意等號成立的條件．
解答：解：（1）∵S_n=f（n）=pn²+qn∴當n=1時，a₁=s₁=p+q
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1時，a₁=p+q適合上式，故數列{a_n}的通項公式為a_n=2pn-p+q…（3分）
又∵a_n+1-a_n=2p＞0，
∴{a_n}是首項為p+q，公差為2p的等差數列，∴a_n+1＞a_n＞…＞a₁=p+q＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1…（4分）
（2）設M_i，M_j（i≠j）是M₁，M₂，…，M_n中任意兩點，則
=P…（8分）
∴M_i，M_j兩點連線的斜率為定值P，又M_i，M_j是M₁，M₂，…，M_n中任意兩點，
∴點M₁，M₂，…，M_n在同一直線l₁上…（9分）
（3）∵N₁，N₂ 兩點連線的斜率為，
又∵直線l₁的斜率為k₁=p，由夾角公式得
…（13分）
當且僅當即時，上式等號成立．
故當時，tanθ有最大值…（14分）
點評：本題是一道綜合題，涉及了數列通項公式和前n項和公式之間的關系式，直線的斜率公式，兩條相交直線的夾角公式，以及基本不等式求最值問題，綜合性強，考查了分析問題、解決問題和知識的綜合應用能力．