Question

已知函數f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，對于數列{a_n}，設它的前n項和為S_n，且滿足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并證明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求證：點M1(1，

S1

1

)，M2(2，

S2

2

)，M3(3，

S3

3

)，…，Mn(n，

Sn

n

)在同一直線l₁上；
（3）若過點N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直線l₂，設l₂與l₁的夾角為θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由“當n=1時，a₁=s₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”，求出通項公式a_n，再由p＞0，p+q＞1進行證明；
（2）根據一條直線的斜率是一個定值，即在所給的點中任選兩點求出是定值進行證明；
（3）由斜率公式求出直線l₂的斜率，再由（2）和夾角公式表示夾角的正切，化簡后利用基本不等式求出最大值，注意等號成立的條件．

解答：解：（1）∵S_n=f（n）=pn²+qn∴當n=1時，a₁=s₁=p+q
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1時，a₁=p+q適合上式，故數列{a_n}的通項公式為a_n=2pn-p+q…（3分）
又∵a_n+1-a_n=2p＞0，
∴{a_n}是首項為p+q，公差為2p的等差數列，∴a_n+1＞a_n＞…＞a₁=p+q＞1，
∴a_n+1＞a_n＞1…（4分）
（2）設M_i，M_j（i≠j）是M₁，M₂，…，M_n中任意兩點，則Mi(i，

Si

i

)，Mj(j，

Sj

j

)

∵kMiMj= Si i - Sj j i-j = jSi-iSj ij(i-j) = j• i(a1+ai) 2 -i• j(a1+aj) 2 ij(i-j) = ij(a1+ai)-ij(a1+aj) 2ij(i-j) = ai-aj 2(i-j) = [a1+(i-1)2p]-[a1+(j-1)2p] 2(i-j)

=P…（8分）
∴M_i，M_j兩點連線的斜率為定值P，又M_i，M_j是M₁，M₂，…，M_n中任意兩點，
∴點M₁，M₂，…，M_n在同一直線l₁上…（9分）
（3）∵N₁，N₂ 兩點連線的斜率為k2=

a2-a1

2-1

=2p，
又∵直線l₁的斜率為k₁=p，由夾角公式得
tanθ|

k1-k2

1+k1k2

|=

p

1+2p2

=

1

1 p +2p

≤

1

2 2

…（13分）
當且僅當

1

p

=2p即p=

2

2

時，上式等號成立．
故當p=

2

2

時，tanθ有最大值

2

4

…（14分）

點評：本題是一道綜合題，涉及了數列通項公式和前n項和公式之間的關系式，直線的斜率公式，兩條相交直線的夾角公式，以及基本不等式求最值問題，綜合性強，考查了分析問題、解決問題和知識的綜合應用能力．