Question

【題目】已知函數．

（1）判斷并證明的奇偶性；

（2）用單調性的定義證明函數在其定義域上是增函數；

（3）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）是奇函數，證明見解析（2）證明見解析（3）（﹣∞，）

【解析】

（1）利用函數奇偶性的定義即可判斷與證明；

（2）按照單調性定義證明的步驟，取值－作差－變形－定號－下結論，即可證出；

（3）利用函數的奇偶性和單調性，將抽象不等式可轉化為

　　，解出即可．

（1）因為定義域為，

f（﹣x）＝11﹣21

1﹣2（1）＝﹣f（x），

所以f（x）是奇函數；

（2）證明：設x2＞x1，則f（x2）﹣f（x1）＝（1）﹣（1）

＝2，

由題設可得：330，（1+3）＞0，（1+3）＞0，

∴20，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在其定義域上是增函數；

（3）不等式f（3m+1）+f（2m﹣3）＜0，f（3m+1）＜﹣f（2m﹣3）＝f（3﹣2m），

∴3m+1＜3﹣2m，解得m，即不等式的解集為（﹣∞，）．