Question

【題目】已知橢圓 經過點 ，其離心率 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設動直線 與橢圓 相切，切點為 ，且 與直線 相交于點 ．
試問：在 軸上是否存在一定點，使得以 為直徑的圓恒過該定點？若存在，
求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)依題意，得 ．又 ，

在 中， ，所以 ．

所以橢圓 的標準方程為 ．

(Ⅱ)設 ， ，則 ， ．

因為點 在橢圓 上，所以 ．即 ．

又 ，所以直線 的方程為 ．

令 ，得 ．

又 ， 為線段 的中點，所以 ．

所以 ， ．

因為

，

所以 ． ．

【解析】(1)根據題意可以知：將點代入橢圓的方程利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程。(2)將直線方程代入橢圓的方程由判別式等于零求得關于m的方程，利用韋達定理以及中點坐標公式求T的坐標聯立即可求出S點的坐標，結合向量的數量積坐標運算可求得點A的坐標即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點（1,0）。