Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)滿足：
①對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，有成立；
②對(duì)恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值等性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類(lèi)討論等綜合解題能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，求導(dǎo)后還無(wú)法直接判斷的正負(fù)，所以再次求導(dǎo)，得到恒大于0，則在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；第二問(wèn)，<1>由第一問(wèn)函數(shù)的單調(diào)性可知，必異號(hào)，不妨設(shè)，先證明一個(gè)結(jié)論：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值證明結(jié)論，最后得出結(jié)論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有成立；<2>由題意分析只需即可，通過(guò)上一步的證明，得到，而在和中取得，作差比較和的大小，從而得到，代入到上式即可.
試題解析：（1），
令，則，
從而在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知，當(dāng)，時(shí)，必異號(hào)，不妨設(shè)，
我們先證明一個(gè)結(jié)論：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有成立；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有成立.
事實(shí)上，，
構(gòu)造函數(shù)，，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），又，
當(dāng)時(shí)，，所以