Question

如圖，已知直線l與拋物線相切于點P(2,1)，且與軸交于點A，定點B的坐標為(2,0) ．

（1）若動點M滿足，求點M的軌跡C；
（2）若過點B的直線l（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（,1）

試題分析：（1）先對原函數求導，然后求出斜率，再利用 進行整理即可．
(2)先設方程為 與  聯立，結合根與系數的關系以及判別式得到再由
得，即可
（1）由得, ∴．∴直線的斜率為，
故的方程為，∴點A的坐標為(1,0)．           (2分)
設,則(1,0),,，由
得，整理，得．           (4分)
(2)方法一:如圖，由題意知的斜率存在且不為零，設方程為 ①，將①代入，整理，得,設,,則②得            (7分)

令， 則，由此可得 ，
，且．∴    
由②知 ，．
∴,                 (10分)
∵，∴，解得 且   (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）．        (13分)
方法二:如圖，由題意知l’的斜率存在且不為零，設l’ 方程為 ①，將①代入，整理，得,設,,則 ② ;  (7分)
令， 則，由此可得 ， ，且．
∴         (10分)
∵, ∴,解得 且        (12分)
又∵， ∴，
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（,1）．          (13分)