Question

設平面上向量

a

=(cos2α，sin2α)，(0≤α＜π)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，

a

與

b

不共線．
（Ⅰ）證明向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（Ⅱ）若兩個向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，試求角α．

Answer 1

分析：（Ⅰ）計算|

a

|，|

b

|，通過計算(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=0，證明向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（Ⅱ）兩個向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，滿足(

3

•

a

+

b

)2=(

a

-

3

b

)2，得到sin(2α+

π

6

)=0，然后求角α．

解答：解：（Ⅰ）∵|

a

|=

cos22α+sin22α

=1，
|

b

|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1
∴(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=|

a

|2-|

b

|2=0
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；（5分）
（Ⅱ）由題意：(

3

•

a

+

b

)2=(

a

-

3

b

)2
得：

a

•

b

=0∴

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=0
得sin(2α+

π

6

)=0∴2α+

π

6

=kπ，k∈Z（10分）
又0≤α＜π，所以α=

5π

12

或

11π

12

．（12分）

點評：本題考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的模，二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查計算能力．