Question

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，是的中點，點在側棱上．

（1）求證：⊥平面；
（2）若是的中點，求證：//平面；
（3）若，試求的值．

Answer 1

（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

試題分析：（1）由線面垂直判定定理，要證線面垂直，需證垂直平面內兩條相交直線，由，是的中點，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形為正三角形，所以垂直于，（2）由線面平行判定定理，要證線面平行，需證平行于平面內一條直線，根據是的中點，聯想到取AC中點O所以OQ為△PAC中位線．所以OQ // PA注意在寫定理條件時，不能省，要全面.例如，線面垂直判定定理中有五個條件，線線垂直兩個，相交一個，線在面內兩個；線面平行判定定理中有三個條件，平行一個，線在面內一個，線在面外一個，（3）研究體積問題關鍵在于確定高，由于兩個底面共面，所以求的值就轉化為求對應高的長度比.
試題解析：證明：（1）因為E是AD的中點，PA=PD，所以AD⊥PE．
因為底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因為E是AD的中點，所以 AD⊥BE．
因為PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．         4分
（2）連接AC交BD于點O，連結OQ．因為O是AC中點，
Q是PC的中點，所以OQ為△PAC中位線．所以OQ//PA．  7分
因為PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．        9分
（3）設四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為，，所以V_P-BCDE=S_BCDE，V_Q-ABCD=S_ABCD．  10分
因為V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=S_ABCD．  12分
所以，因為，所以．     14分