Question

如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面．

（1）證明：平面.；
（2）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）見解析（2）

試題分析：（1）要證平面,需證與平面內的兩條相交直線都垂直，
由平面,可證，由平面，可證.根據線面垂直的判定定理，
可證平面.（2）設矩形的對角線的交點為,連結，由（1）的結論可知平面，從而有，所以矩形為正方形，邊長為2；由平面，知，因此與相似，可確定的各邊長，然后由求三棱錐的體積.
試題解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．                  6分

（2）如圖，設AC與BD的交點為O，連結OE．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（1）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由題設條件知，四邊形ABCD為正方形．
由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝．
在Rt△PAC中，PC＝＝＝3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．
∴V_E-BCD＝S_△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···2＝．   13分