Question

（本小題滿分13分）已知中心在坐標原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M(2,1)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個不同點.
（ⅰ）若為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）利用直線MA、MB的傾斜角互補，
證明直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形

試題分析：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，
則 解得 
∴橢圓的方程為.             ………………………… 4分
（Ⅱ）（ⅰ）由直線平行于OM，得直線的斜率，
又在軸上的截距為m，所以的方程為. 
由 得.
又直線與橢圓交于A、B兩個不同點，
，于是. ……………… 6分
為鈍角等價于且，             
設，

，
由韋達定理，代入上式，
化簡整理得，即，故所求范圍是.
……………………………………………8分
（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為，.
由，.      ………………………………10分
而

. 
所以 , 故直線MA、MB的傾斜角互補，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．…………………… 13分
點評：對于解決解析幾何的方程問題，一般都是利用其性質得到a,b,c的關系式，然后求解得到，而對于直線與橢圓的位置關系，通常利用設而不求的數學思想，結合韋達定理，以及判別式來分析求解。尤其關注圖形的特點與斜率和向量之間的關系轉換，屬于難度題。