Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上，.

（1）求圓的方程；

（2）直線與圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，求線段長(zhǎng)度的最大值，并求出當(dāng)線段長(zhǎng)度最大時(shí)，外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為；

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)得到，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，得到，即，從而得到圓的方程；

（2）由得到、的坐標(biāo)，表示出線段的中垂線，令，得到的外心的坐標(biāo)，由在拋物線上得，從而得到，再由基本不等式，得到其最大值，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出外接圓的半徑，得到所求圓的方程.

解：（1）設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以

所以，

由上式得：，所以，所以圓的方程為.

（2）把代入圓的方程得，所以，，

作出線段的中垂線，則的外心為直線與軸的交點(diǎn).

直線的方程為：.

當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以

所以.

由得，

所以，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到最大值.

此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以外接圓的半徑，

所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.