Question

（本小題滿分12分）已知函數 .
(1)求函數f(x)的定義域、值域；
（2）是否存在實數，使得函數f(x)滿足：對于區間(2,+∞)上使函數f(x)有意義的一切x，都有f(x)≥0.

Answer 1

解：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.
當a>1時，x≤log_a4;  當0<a<1時，x≥log_a4.
即當a>1時，f(x)的定義域為（-∞,log_a4］;當0<a<1時，f(x)的定義域為［log_a4,+∞）.
令t=,則0≤t<2,且a^x=4-t²,?
∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4, 當t≥0時，f(x)是t的單調減函數,
∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<f(x)≤3.∴函數f(x)的值域是（-5，3］    .----------6分
（2）若存在實數a使得對于區間（2，+∞）上使函數f(x)有意義的一切x,都有?f(x)≥0,則區間（2,+∞）是定義域的子集.由(1)知，a>1不滿足條件；若0<a<1,則log_a4<2,且f(x)是x的減函數.
當x>2時，a^x<a².由于0<a²<1,   ∴t=
∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立.
綜上滿足條件的a不存在.                    ------------------12分

略