Question

15．如圖，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{a}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$的最小值為3．

Answer 1

分析 由向量共線定理可得：$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=$\frac{am}{3}\overrightarrow{AB}$+（1-m）×$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$．利用三角形重心性質可得：$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．利用向量基本定理可得：$\frac{am}{3}=\frac{1}{3}$，（1-m）×$\frac{b}{6}$=$\frac{1}{3}$．化為：a-1=$\frac{2}{b-2}$．代入$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由向量共線定理可得：$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=$\frac{am}{3}\overrightarrow{AB}$+（1-m）×$\frac{b}{6}$$\overrightarrow{AC}$．
$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．
∴$\frac{am}{3}=\frac{1}{3}$，（1-m）×$\frac{b}{6}$=$\frac{1}{3}$．
化為：a-1=$\frac{2}{b-2}$．
∴$\frac{2}{a-1}$+$\frac{1}{b-2}$=b-2+$\frac{1}{b-2}$≥2，當且僅當b=a=3時取等號．
故答案為：2．

點評 本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．