Question

【題目】長方形中，，是中點（圖1）.將沿折起，使得（圖2）在圖2中:

（1）求證:平面平面；

（2）在線段上是否存點，使得二面角的余弦值為，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析

【解析】

(1)利用勾股定理與線面垂直的性質證明平面即可.

(2) 以為坐標原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,建立空間直角坐標系. 設,再根據二面角的向量方法,分別求解面的法向量,再根據法向量的夾角求解即可.

（1）在長方形中,連結,因為,是中點,

所以,從而,

所以

因為,,

所以平面.

因為平面,

所以平面平面.

（2）因為平面平面,交線是,

所以在面過垂直于的直線必然垂直平面.

以為坐標原點,為軸,為軸,過作平面的垂線為軸,

建立空間直角坐標系.

則,,,.設,則.

設是平面的法向量,

則,即,取,

平取面的一個法向量是.

依題意,

即,解方程得,

因此在線段上存點,使得二面角的余弦值為.