Question

【題目】設a，b∈R，|a|≤1．已知函數f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（14分）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）已知函數y=g（x）和y=ex的圖象在公共點（x0 ， y0）處有相同的切線，
（i）求證：f（x）在x=x0處的導數等于0；
（ii）若關于x的不等式g（x）≤ex在區間[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a）	（a，4﹣a）	（4﹣a，+∞）
f'（x）	+	﹣	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），單調遞減區間為（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）證明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由題意知 ，
∴ ，解得 ．
∴f（x）在x=x0處的導數等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex ， x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0為f（x）的極大值點，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）內單調遞增，在（a，a+1）內單調遞減，
故當x0=a時，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域為[﹣7，1]．
∴b的取值范圍是[﹣7，1]．
【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的導函數，得到導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，列表后可得f（x）的單調區間；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的導函數，由題意知 ，求解可得 ．得到f（x）在x=x0處的導數等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）內單調遞增，在（a，a+1）內單調遞減，故當x0=a時，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．構造函數t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用導數求其值域可得b的范圍．
【考點精析】關于本題考查的導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性，需要了解通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．