Question

已知函數，
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）求函數的單調區間；
（3）若關于的方程有實數解，求實數的取值范圍

Answer 1

（1）偶函數；（2）,；（3） 

試題分析：(1)判斷奇偶性，需先分析函數的定義域要關于原點對稱，然后分析解析式與的關系可得；(2)根據偶函數在對稱區間上的單調性相反，所以可以考慮先分析時的單調性，于是在時利用導數分析函數的單調性，然后再分析對稱區間上的單調性；（3）把方程的根轉化為函數的零點，然后利用導數分析函數的最值，保證函數圖形與的交點的存在
試題解析：（1）函數的定義域為且關于坐標原點對稱      1分
為偶函數                4分
（2）當時，               5分
令
令
                             6分
所以可知：當時，單調遞減，
當時，單調遞增，          7分
又因為是偶函數，所以在對稱區間上單調性相反，所以可得：
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，          8分
綜上可得：的遞增區間是:,；
的遞減區間是: ,                           10分
（3）由，即,顯然,
可得：令，當時, 
           12分
顯然，當時，,單調遞減，
當時，,單調遞增，
時,             14分 
又，所以可得為奇函數，所以圖像關于坐標原點對稱
所以可得:當時，           16分 
∴的值域為 ∴的取值范圍是      16分