Question

【題目】設為數列前項的和，，數列的通項公式.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，則稱為數列與的公共項，將數列與的公共項，按它們在原數列中的先后順序排成一個新數列，求的值；

（3）是否存在正整數、、使得成立，若存在，求出、、；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），數列和的值為；（3）存在，，，.

【解析】

（1）根據，得時，，兩式相減得到，再求出時，的值，利用等比數列通項公式，得到答案；（2）根據，可得，，，，求出的通項，根據無窮等比數列的求和公式，即可求出答案；（3）假設存在整數、、使得成立，從而得到，根據等式兩邊的奇偶，得到，進而得到和的值.

（1）因為，

所以當時，，

兩式相減，得到，

即

時，，解得

所以數列是以為首項，為公比的等比數列，

所以.

（2），.

可得，，，

所以得到

所以

所以

.

（3）假設存在整數、、使得成立，

則

即

即

等式右邊為奇數，要使等式成立，則左邊也要為奇數

又因，所以只能有，

故

可得

即

等式右邊為奇數，要使等式成立，則左邊也要為奇數

又因，所以只能有

故

可得，所以

所以只存在一組正整數、、，使得成立.