Question

【題目】有一容積為的正方體容器，在棱、和面對(duì)角線的中點(diǎn)各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，則其可裝水的最大容積是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

分別討論水面過(guò)直線、、時(shí)從正方體截去的幾何體體積的最小值，即可得出此容器可裝水的最大容積.

當(dāng)水面過(guò)直線時(shí)，如下圖所示，

水面截去正方體所得幾何體為三棱柱，

當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí)，容器中的水不會(huì)漏，且當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截去的幾何體體積最小為；

當(dāng)水面過(guò)直線時(shí)，如下圖所示，

水面截去正方體所得幾何體為三棱臺(tái)，

當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí)，容器中的水不會(huì)漏，且當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，截去的幾何體為三棱柱，且體積最小為；

當(dāng)水面過(guò)直線時(shí)，如下圖所示，

當(dāng)點(diǎn)在水面上方或水面上時(shí)，容器中的水不會(huì)漏，此時(shí)水面截去正方體所得幾何體為，且直線過(guò)點(diǎn)，易知梯形的面積為正方形面積的一半，此時(shí)，幾何體的體積為.

當(dāng)與直線重合時(shí)，如下圖所示，

此時(shí)，點(diǎn)在水面上方，容器不會(huì)漏水，水面截去正方體所得幾何體為三棱錐，

該三棱錐的體積為.

綜上可知，水面截去截去正方體所得幾何體體積的最小值為.

因此，該容器可裝水的最大容積是.

故選：C.